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这部分的目标是证明时间序列 $X_t$ 的样本均值 $\bar{X}.$ 随着样本量 $T$ 趋向于无穷大时，会几乎必然收敛到 0。这是证明样本自协方差收敛性的第一步，因为自协方差的计算需要减去均值。

1. 第一步：写出均值的定义

$\bar{X}.$ 是对时间序列 $X_t$ 从 $t=1$ 到 $t=T$ 的所有值求和再取平均。根据模型设定，$X_t = \sum_{j=1}^{n} a_{j} \cos \left(\lambda_{j} t\right)+\varepsilon_{t}$。所以，均值的表达式就是将这个模型代入求和公式。

1. 第二步：拆分求和项

利用求和的线性性质，可以将对两部分之和的求和，拆分成两部分求和的相加。也就是，将噪声项 $\varepsilon_t$ 和余弦周期项 $\sum_{j=1}^{n} a_{j} \cos \left(\lambda_{j} t\right)$ 分开处理。

然后再次利用求和的性质，交换两个求和符号的顺序，得到原文中的第二行表达式。

1. 第三步：分析噪声项的收敛性

第一项是 $\frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} \varepsilon_{t}$。这里的 $\varepsilon_t$ 是一个白噪声过程，根据白噪声的定义，它的期望为0，即 $E[\varepsilon_t]=0$。根据大数强定律 (SLLN)，对于独立同分布且期望存在的随机变量序列，其样本均值会几乎必然收敛到其期望。因此，当 $T \rightarrow \infty$ 时，$\frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} \varepsilon_{t} \xrightarrow{\text { a.s. }} E[\varepsilon_t] = 0$。

1. 第四步：分析余弦项的收敛性

第二项是 $\sum_{j=1}^{n} \frac{a_{j}}{T} \sum_{t=1}^{T} \cos \left(\lambda_{j} t\right)$。我们需要分析内部的求和 $\frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} \cos \left(\lambda_{j} t\right)$。

这个求和是一个标准的三角函数求和。可以利用拉格朗日三角恒等式或者通过将余弦表示为复指数的形式（$ \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} $）然后利用等比数列求和公式来求解。

最终得到的求和结果是一个有界的、与 $T$ 相关的复杂表达式，但关键在于分母中有一个 $T$。

当 $T \rightarrow \infty$ 时，分子部分 $\sin(\lambda_j(T+1))$、$\sin(\lambda_j T)$ 等都是在 $[-1, 1]$ 之间振荡的有界函数。而分母是 $T$，它趋于无穷大。一个有界的量除以一个趋于无穷的量，结果必然趋于0。

这个结论依赖于一个重要前提：$0 < \lambda_j < \pi$。这确保了分母中的 $\sin(\lambda_j)$ 不为零，从而避免了表达式无意义。

所以，对于每一个 $j$，我们都有 $\frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} \cos \left(\lambda_{j} t\right) \rightarrow 0$。

由于 $n$ 是一个有限的数，有限个趋于0的项的和依然趋于0。

1. 第五步：合并结论

$\bar{X}.$ 被拆分成了两个部分，而这两个部分都几乎必然收敛到0。因此，它们的和也几乎必然收敛到0。

证明完成。

这一步是证明的核心，它将样本自协方差 $\gamma_{T}^{X}(h)$ 的复杂表达式分解为四个更容易分析的部分。

1. 第一步：写出样本自协方差的定义

样本自协方差 $\gamma_{T}^{X}(h)$ 衡量的是时间序列在相隔 $h$ 个时间单位的两个点之间的线性关系。其定义为：

其中，$h$ 是滞后阶数。求和只到 $T-h$ 是因为 $X_{t+h}$ 的最大下标是 $T$。

1. 第二步：代入模型表达式

将模型 $X_t = \sum_{j=1}^{n} a_{j} \cos \left(\lambda_{j} t\right)+\varepsilon_{t}$ 代入到定义中。

• $X_t - \bar{X}.$ 变成 $\left(\sum_{j=1}^{n} a_{j} \cos \left(\lambda_{j} t\right)+\varepsilon_{t}-\bar{X} .\right)$
• $X_{t+h} - \bar{X}.$ 变成 $\left(\sum_{k=1}^{n} a_{k} \cos \left(\lambda_{k}(t+h)\right)+\varepsilon_{t+h}-\bar{X} .\right)$

注意这里为了后续展开，第二个括号内的周期项求和下标用了 $k$ 而不是 $j$，这不影响结果，只是为了区分。

代入后，就得到了原文中的第一个等式。

1. 第三步：展开括号，进行代数分解

现在，我们需要将两个大括号内的项相乘并展开。这个乘法类似于 $(A+B-C)(D+E-C)$。展开后会有9项。原文作者将这9项重新组合，归类为四大部分，标记为 $(i), (ii), (iii), (iv)$。

让我们手动展开并归类：

• $(\sum a_j \cos(\lambda_j t)) \times (\sum a_k \cos(\lambda_k (t+h)))$ -> 这是项 (i)，纯周期项的交叉相乘。
• $\varepsilon_t \times \varepsilon_{t+h}$ -> 这是项 (iv) 的一部分，纯噪声项的交叉相乘。
• $\varepsilon_t \times (\sum a_k \cos(\lambda_k (t+h)))$ 和 $(\sum a_j \cos(\lambda_j t)) \times \varepsilon_{t+h}$ -> 这是项 (iii)，周期项与噪声项的交叉相乘。
• 所有涉及到 $\bar{X}.$ 的项：
• $- \bar{X}. \times (\sum a_k \cos(\lambda_k (t+h)) + \varepsilon_{t+h})$
• $- \bar{X}. \times (\sum a_j \cos(\lambda_j t) + \varepsilon_t)$
• $(-\bar{X}.) \times (-\bar{X}.) = \bar{X}.^2$

将这些项合并，并利用 $X_t = \sum a_j \cos(\lambda_j t) + \varepsilon_t$ 的定义，可以得到：

$- \bar{X}. X_{t+h} - \bar{X}. X_t + \bar{X}.^2$ （注意这里原文似乎写成了 $\bar{X}.X_t + \bar{X}.X_{t+h}$，但从展开看应该是负号，不过这不影响最终结论，因为 $\bar{X}. \to 0$ 会让整个(ii)项都趋于0）。经过求和与平均，这就是项 (ii)。

这个分解的目的是将样本自协方差拆解成四个部分：

• (i) 信号部分：只包含周期项，我们期望它收敛到理论自协方差。
• (ii) 均值影响部分：包含样本均值 $\bar{X}.$，我们期望它因为 $\bar{X}.$ 趋于0而消失。
• (iii) 信号与噪声的交叉部分：我们期望信号和噪声不相关，所以这部分也应该消失。
• (iv) 噪声部分：我们期望它收敛到噪声自身的自协方差。

这部分开始逐一分析项 (ii), (iii), (iv) 在样本量 $T$ 趋于无穷大时的极限。

• 分析项 (ii) 的极限:

项 (ii) 是 $\frac{1}{T-h} \sum_{t=1}^{T-h} \bar{X} . X_{t}+\bar{X} . X_{t+h}-\bar{X}_{.}^{2}$。

我们已经证明了 $\bar{X} . \xrightarrow{\text { a.s. }} 0$。

同时，$X_t$ 和 $X_{t+h}$ 的样本均值是有限的（因为它们是有限个有界余弦函数和满足SLLN的噪声之和）。

一个趋于0的量乘以一个有界的量，结果仍然趋于0。因此，项 (ii) 中的每一部分都趋于0，所以整个项 (ii) 几乎必然收敛到0。

• 分析项 (iii) 的极限:

项 (iii) 是 $\frac{1}{T-h} \sum_{t=1}^{T-h} \left( \varepsilon_{t} \sum_{k=1}^{n} a_{k} \cos \left(\lambda_{k}(t+h)\right)+\varepsilon_{t+h} \sum_{j=1}^{n} a_{j} \cos \left(\lambda_{j} t\right) \right)$。

我们把它拆成两部分来看：

1. 第一部分: $\frac{1}{T-h} \sum_{t=1}^{T-h} \varepsilon_{t} \left( \sum_{k=1}^{n} a_{k} \cos \left(\lambda_{k}(t+h)\right) \right)$。

令 $Y_t = \sum_{k=1}^{n} a_{k} \cos \left(\lambda_{k}(t+h)\right)$。这是一个确定性的、有界的函数。

我们要计算的是 $\frac{1}{T-h} \sum_{t=1}^{T-h} \varepsilon_t Y_t$ 的极限。

根据大数强定律的一个推广形式，如果 $\varepsilon_t$ 是独立同分布的随机变量序列，均值为0，且 $Y_t$ 是一个与 $\varepsilon_t$ 独立且有界的序列，那么这个样本均值会几乎必然收敛到 $E[\varepsilon_t Y_t] = E[\varepsilon_t] E[Y_t] = 0 \cdot E[Y_t] = 0$。

原文中提到的“一致有界约束”就是为了满足应用SLLN的条件。$|\cos(\cdot)| \le 1$，所以 $|\sum_{k=1}^{n} a_{k} \cos \left(\lambda_{k}(t+h)\right)| \le \sum_{k=1}^{n} |a_k| \le n \cdot \max_k|a_k|$，这是一个不依赖于 $t$ 的上界。

1. 第二部分: $\frac{1}{T-h} \sum_{t=1}^{T-h} \varepsilon_{t+h} \left( \sum_{j=1}^{n} a_{j} \cos \left(\lambda_{j} t\right) \right)$。

同理，这一部分的极限也为0。

两部分都收敛到0，所以整个项 (iii) 几乎必然收敛到0。

• 分析项 (iv) 的极限:

项 (iv) 是 $\frac{1}{T-h} \sum_{t=1}^{T-h} \varepsilon_{t} \varepsilon_{t+h}$。这是噪声项 $\varepsilon_t$ 的样本自协方差（在均值为0的情况下）。

根据大数强定律，这个样本矩会几乎必然收敛到它的理论矩，即期望 $E[\varepsilon_t \varepsilon_{t+h}]$。

根据白噪声的定义：

• 当 $h=0$ 时，$E[\varepsilon_t \varepsilon_{t}] = E[\varepsilon_t^2] = \text{Var}(\varepsilon_t) = \sigma^2$ (噪声的方差)。
• 当 $h \neq 0$ 时，$E[\varepsilon_t \varepsilon_{t+h}] = 0$ (不同时刻的噪声不相关)。

我们可以用一个指示函数 $\mathbf{1}_{h=0}$ 来统一这两种情况。$\mathbf{1}_{h=0}$ 在 $h=0$ 时取1，在 $h \neq 0$ 时取0。

所以，项 (iv) $\xrightarrow{\text { a.s. }} \mathbf{1}_{h=0} \sigma^{2}$。

这是证明的最后一步，也是最关键的一步：计算项 (i) 的极限。

1. 第一步：展开双重求和

项 (i) 是两个关于周期分量的求和的乘积，再对时间 $t$ 求平均。

将括号内的求和展开，可以得到 $n \times n$ 个交叉项。作者将这些交叉项分为两类：

• 对角线项: $j=k$。即同一个频率分量在 $t$ 和 $t+h$ 时刻的乘积。
• 非对角线项: $j \neq k$。即不同频率分量在 $t$ 和 $t+h$ 时刻的乘积。

这就得到了原文的第二行表达式。

1. 第二步：应用积化和差公式

为了能对时间 $t$ 求和，需要将余弦的乘积转换成余弦的和。这里使用了积化和差公式：

• $\cos(A)\cos(B) = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]$

• 对于对角线项 ($j=k$):

$A = \lambda_j(t+h)$, $B=\lambda_j t$。

$A-B = \lambda_j h$

$A+B = \lambda_j(2t+h)$

所以 $\cos(\lambda_j t) \cos(\lambda_j (t+h)) = \frac{1}{2}[\cos(\lambda_j h) + \cos(\lambda_j (2t+h))]$。

• 对于非对角线项 ($j \neq k$):

$A = \lambda_k(t+h)$, $B=\lambda_j t$。

$A-B = (\lambda_k - \lambda_j)t + \lambda_k h$

$A+B = (\lambda_k + \lambda_j)t + \lambda_k h$

所以 $\cos(\lambda_j t) \cos(\lambda_k (t+h)) = \frac{1}{2}[\cos((\lambda_k - \lambda_j)t + \lambda_k h) + \cos((\lambda_k + \lambda_j)t + \lambda_k h)]$。

将这些结果代入，就得到了原文的第三行表达式。

1. 第三步：对时间 $t$ 求和并取极限

现在我们分析 $\frac{1}{T-h} \sum_{t=1}^{T-h}$ 作用于这些展开后的项的极限。

• 对于 $\cos(\lambda_j h)$: 这个项不依赖于时间 $t$。所以对它求和 $T-h$ 次再除以 $T-h$ 结果就是它本身。

$\frac{1}{T-h} \sum_{t=1}^{T-h} \cos(\lambda_j h) = \cos(\lambda_j h)$。

• 对于所有其他含 $t$ 的余弦项:
• $\cos(\lambda_j(2t+h))$: 这是一个频率为 $2\lambda_j$ 的振荡项。
• $\cos((\lambda_k - \lambda_j)t + \lambda_k h)$: 这是一个频率为 $|\lambda_k - \lambda_j|$ 的振荡项。由于 $j \neq k$, $\lambda_j \neq \lambda_k$, 这个频率非零。
• $\cos((\lambda_k + \lambda_j)t + \lambda_k h)$: 这是一个频率为 $\lambda_k + \lambda_j$ 的振荡项。这个频率也非零。

对于任何一个频率非零的余弦函数 $\cos(\omega t + \phi)$，我们之前已经知道 $\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \cos(\omega t + \phi) \rightarrow 0$ 当 $T \rightarrow \infty$。

因此，所有这些含 $t$ 的振荡项，在求时间平均后，它们的极限都为0。

1. 第四步：组合结果

在取极限 $T \rightarrow \infty$ 后，第三行表达式中，只有不含 $t$ 的项 $\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{2} a_j^2 \cos(\lambda_j h)$ 被保留了下来。所有其他的项都收敛到0。

所以，项 (i) 的极限是 $\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{2} a_{j}^{2} \cos \left(\lambda_{j} h\right)$。

1. 第五步：总结定理1的最终结果

现在我们把 (i) 到 (iv) 的所有极限结果加起来：

$\lim_{T\to\infty} \gamma_T^X(h) = \lim(i) + \lim(ii) + \lim(iii) + \lim(iv)$

$\lim_{T\to\infty} \gamma_T^X(h) = \left( \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{2} a_{j}^{2} \cos \left(\lambda_{j} h\right) \right) - 0 + 0 + \mathbf{1}_{h=0} \sigma^2$

这就是定理 1 的最终结论：样本自协方差 $\gamma_T^X(h)$ 几乎必然收敛于理论自协方差 $\gamma_X(h) = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{2} a_{j}^{2} \cos \left(\lambda_{j} h\right) + \mathbf{1}_{h=0} \sigma^2$。

这个证明的目的是分析总的交易量时间序列 $V_t$ 的方差与其中周期性部分 $X_t$ 和趋势部分 $m_t$ 的关系。模型是 $V_t = m_t + X_t$。

1. 第一步：写出方差之差的定义

$\gamma_T^V(0)$ 是 $V_t$ 的样本方差，$\gamma_T^m(0)$ 是 $m_t$ 的样本方差。

• $\gamma_T^V(0) = \frac{1}{T}\sum (V_t - \bar{V}.)^2$
• $\gamma_T^m(0) = \frac{1}{T}\sum (m_t - \bar{m}.)^2$
• $V_t = m_t + X_t$, $\bar{V}. = \bar{m}. + \bar{X}.$

将这些代入 $\gamma_T^V(0) - \gamma_T^m(0)$ 的表达式中，得到原文第一行。

1. 第二步：展开平方项

$\left(m_{t}+X_{t}-\bar{m} .-\bar{X} .\right)^{2} = \left((m_{t}-\bar{m}.) + (X_{t}-\bar{X}.)\right)^2$

使用 $(A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB$ 的公式展开：

$= (m_t - \bar{m}.)^2 + (X_t - \bar{X}.)^2 + 2(m_t - \bar{m}.)(X_t - \bar{X}.)$

代回到方差之差的表达式中：

$\gamma_T^V(0) - \gamma_T^m(0) = \frac{1}{T}\sum \left[ (m_t - \bar{m}.)^2 + (X_t - \bar{X}.)^2 + 2(m_t - \bar{m}.)(X_t - \bar{X}.) \right] - \frac{1}{T}\sum(m_t - \bar{m}.)^2$

$= \frac{1}{T}\sum(m_t - \bar{m}.)^2 - \frac{1}{T}\sum(m_t - \bar{m}.)^2 + \frac{1}{T}\sum(X_t - \bar{X}.)^2 + \frac{2}{T}\sum(m_t - \bar{m}.)(X_t - \bar{X}.)$

$= \gamma_T^X(0) + \frac{2}{T}\sum(m_t - \bar{m}.)(X_t - \bar{X}.)$

这就得到了原文的第二行。$\gamma_T^X(0)$ 是 $X_t$ 的样本方差，后面一项是 $m_t$ 和 $X_t$ 的样本协方差的2倍。

1. 第三步：进一步分解协方差项

将 $X_t = \sum a_j \cos(\lambda_j t) + \varepsilon_t$ 和 $\bar{X}. \approx 0$ 代入协方差项 $\frac{2}{T}\sum(m_t - \bar{m}.)(X_t - \bar{X}.)$：

$= \frac{2}{T}\sum(m_t - \bar{m}.)(\sum a_j \cos(\lambda_j t) + \varepsilon_t)$

$= \frac{2}{T}\sum(m_t - \bar{m}.)\sum a_j \cos(\lambda_j t) + \frac{2}{T}\sum(m_t - \bar{m}.)\varepsilon_t$

交换求和顺序，得到：

$= \sum_j \frac{2a_j}{T}\sum(m_t - \bar{m}.)\cos(\lambda_j t) + \frac{2}{T}\sum(m_t - \bar{m}.)\varepsilon_t$

这就将协方差项分成了两部分，即原文中的项 (vi) 和 (vii)。

所以，总的分解就是：$\gamma_T^V(0) - \gamma_T^m(0) = (v) + (vi) + (vii)$。

1. 第四步：分析各项的极限
   • 项 (v): $\gamma_T^X(0)$。这是 $X_t$ 的样本方差，即滞后为0的样本自协方差。根据定理 1 的结果，在 $h=0$ 时：
   • 项 (vi): $\sum_{j=1}^{n} \frac{2 a_{j}}{T} \sum_{t=1}^{T}\left(m_{t}-\bar{m} .\right) \cos \left(\lambda_{j} t\right)$。这一项是趋势项 $m_t$ 与各个周期分量 $\cos(\lambda_j t)$ 之间的样本协方差。假设1和假设3在论文正文中（这里未给出，但通常会假设趋势项与周期项是渐近不相关的），保证了这一项的极限为0。直观上，一个平滑的趋势项 $m_t$ 和一个快速振荡的 $\cos(\lambda_j t)$ 在长期来看是不相关的。
   • 项 (vii): $\frac{2}{T} \sum_{t=1}^{T}\left(m_{t}-\bar{m} .\right) \varepsilon_{t}$。这一项是趋势项 $m_t$ 与噪声项 $\varepsilon_t$ 之间的样本协方差。同样，根据大数强定律和趋势项与噪声项独立的假设（假设3），这一项会几乎必然收敛到 $2 \cdot E[(m_t - E[m_t])\varepsilon_t] = 0$。
2. 第五步：合并结论

当 $T \rightarrow \infty$ 时，项 (vi) 和 (vii) 都趋于0，所以：

$\lim (\gamma_T^V(0) - \gamma_T^m(0)) = \lim(v) + 0 + 0 = \sigma^2 + \frac{1}{2}\sum_{j=1}^n a_j^2$。

证明完成。

这个表格是对论文所用数据的一个概览性描述，单位是“三秒窗口内的交易笔数”。它从几个维度展示了数据的分布特征。

• 表头解释:
• 均值 (Mean): 在所有观察时间（多个交易日的三秒窗口）内，交易笔数的平均值。反映了股票的平均活跃度。
• 标准差 (Standard Deviation): 交易笔数围绕其均值的波动幅度。标准差越大，说明交易活跃度越不稳定。
• 最小值 (Minimum): 在所有观察到的三秒窗口中，出现过的最少交易笔数。通常为0，表示这个时间段内没有任何交易。
• 25% 分位数 (25th Percentile): 将所有交易笔数数据从小到大排序后，位于25%位置的数值。意味着有25%的时间窗口，交易笔数小于或等于这个值。
• 中位数 (Median / 50th Percentile): 位于50%位置的数值。它比均值更能抵抗极端值的影响，反映了更典型的交易活跃度。
• 75% 分位数 (75th Percentile): 位于75%位置的数值。
• 最大值 (Maximum): 在所有观察到的三秒窗口中，出现过的最多交易笔数。这通常对应于市场剧烈波动或重大新闻事件的时刻。

• 表格内容解读:

1. 市场平均水平:
   • 美国市场的平均活跃度（均值4.38笔/3秒）高于中国市场（均值2.72笔/3秒）。
   • 美国市场的波动性（标准差4.00）也略高于中国市场（标准差2.24）。
   • 观察均值和中位数的差异。例如，美国市场均值4.38，中位数3.36，均值大于中位数，说明数据是右偏的，即存在一些交易量极高的“极端值”将均值拉高。这在金融数据中非常常见。
2. 高交易量股票 (e.g., AAPL - 苹果公司):
   • 均值高达 60.44 笔/3秒，远超市场平均水平，是极度活跃的股票。
   • 标准差 109.55 甚至大于均值，表明其交易量波动极其剧烈。
   • 中位数 36 远小于均值 60.44，再次验证了强烈的右偏分布。大多数时候交易量可能在36笔左右，但偶尔会出现成千上万笔的爆发。
   • 最大值 23113，这是一个非常极端的值，可能对应财报发布、产品发布会等重大事件的瞬间。
3. 低交易量股票 (e.g., NVR):
   • 均值只有 0.41 笔/3秒，非常不活跃。
   • 25%、中位数、75%分位数都是0，这意味着在超过75%的时间里，这些股票在三秒窗口内是没有任何交易的。
   • 即使是这样的“冷门股”，其最大值也能达到170，说明即便是最不活跃的股票，也可能在特定时刻出现交易的短暂爆发。
4. 中国市场:
   • 也呈现出类似的规律：高交易量股票（如 300059.SZSE 东方财富）的均值远高于市场平均，且数据右偏；低交易量股票（如 002499.SZSE）在绝大多数时间里没有交易。

这是第一个合成时间序列，作为“阴性对照组”。它的设计目的是检验方法是否会“无中生有”，即在一个确定没有周期性的数据中错误地找出周期性。

• 模型构成: $V_{t}^{\text {nonperiod }}$ 由两部分相加构成。

1. $g(t)$: 确定性趋势项。这是一个关于时间 $t$ 的二次函数。
   • $t$ 的取值范围是 $[1, 7800]$。
   • 当 $t=3900$ 时（即时间序列的中点），$(t-3900)^2=0$，$g(t)$ 取到最小值 100。
   • 当 $t$ 偏离中点 3900 时，$(t-3900)^2$ 变大，所以 $g(t)$ 从两端向中间降低，形成一个开口向上的抛物线，即 U 形趋势。这种U型趋势在日内交易量数据中很常见（开盘和收盘活跃，午间不活跃）。
2. $20 \varepsilon_{t}$: 噪声项。
   • $\varepsilon_t$ 是标准白噪声，意味着它是一个均值为0，方差为1的随机变量序列。
   • 乘以系数 20，意味着噪声的振幅被放大了20倍。现在这个噪声项的均值为0，但标准差为20，方差为 $20^2=400$。这是一个信噪比很低的设置，目的是让信号更难被检测到。

• 时间序列特点: 这个序列只包含一个平滑的U型趋势和大量的随机噪声。它在设计上不包含任何周期性成分（如 $\cos(\lambda t)$）。

这是第二个合成时间序列，作为“阳性对照组”。它在第一个序列的基础上，加入了若干个余弦（三角）周期项。这些周期项的形式与论文中理论模型 $X_t = \sum a_j \cos(\lambda_j t) + \varepsilon_t$ 的设定完全一致。

• 模型构成: $V_{t}^{\cos}$ 由三部分构成：

1. $g(t)$: 与第一个序列完全相同的U型趋势项。
2. $20\varepsilon_t$: 与第一个序列完全相同的强噪声项。
3. 一个包含10个余弦项的周期部分: 这一长串 $\cos$ 项是新加入的“信号”。

• 周期项分析:
• 形式: 所有周期项都是 $a_j \cos(\lambda_j t)$ 的形式。
• 频率 $\lambda_j$: 频率都是 $\frac{j\pi}{10}$ 的形式，其中 $j$ 从1到10。这些是谐波关系，基频是 $\frac{\pi}{10}$。对应的周期 $P = 2\pi/\lambda = 2\pi / (\frac{j\pi}{10}) = \frac{20}{j}$ 个时间单位。例如，当 $j=1$ 时，周期是20个时间单位（即 $20 \times 3 = 60$ 秒，1分钟）。当 $j=2$ 时，周期是10个时间单位（30秒）。
• 振幅 $a_j$: 每个余弦项前面的系数就是其振幅。例如，$a_1=3, a_2=2, a_4=10, ...$。注意第四个分量（$j=4$）的振幅最大，为10。

• 时间序列特点: 这个序列包含了U型趋势、强噪声和一组已知振幅和频率的周期信号。它是检验方法的理想对象：我们知道“正确答案”是什么（即10个周期分量的频率和振幅），现在要看方法能否从噪声中准确地把它们找出来。

这是第三个合成时间序列，作为检验方法稳健性 (robustness) 的案例。它与第二个序列非常相似，但有一个关键区别：产生周期性的基础函数不再是平滑的余弦函数 $\cos(\cdot)$，而是一个作者自定义的、形状更复杂的非三角函数 $f(\cdot)$。

• 模型构成: 结构与第二个序列完全相同，由U型趋势 $g(t)$、强噪声 $20\varepsilon_t$ 和一个周期部分组成。
• 周期项的区别: 周期部分的形式是 $\sum a_j f(\lambda_j t)$，而不是 $\sum a_j \cos(\lambda_j t)$。函数 $f(\cdot)$ 是一个周期为 $2\pi$ 的函数，但它的形状不是正弦或余弦波，而是一种非对称的、带有尖峰的波形（原文描述为能生成图1中观察到的非对称周期模式）。

• 时间序列特点: 这个序列仍然具有与第二个序列完全相同的基频和谐波结构（由 $\lambda_j = j\pi/10$ 决定），以及相同的权重系数（$a_j$）。但是，每个周期分量的“波形”不再是简单的余弦波。

这模拟了一个更接近现实的情况：真实世界中的周期性现象（如交易量）可能不是完美的正弦波，而可能是某种更复杂的、但仍然以固定频率重复的模式。

• 检验目的: 检验论文的方法（该方法是基于三角基，即余弦函数来构建的）在处理非三角基生成的周期性信号时的表现。理想情况下，即使波形不完全匹配，一个好的谱分析方法也应该能够捕捉到信号在主要频率上的能量。

这部分给出了第三个例子中使用的非三角函数 $f(t)$ 的具体数学表达式。

• 分段函数定义: 函数 $f(t)$ 在一个周期 $[0, 2\pi]$ 内被定义为两段：

1. 第一段 ($t \leq 0.1\pi$): $3\left(\frac{e^{-0.1}-e^{-2}}{0.1} \frac{t}{\pi}+e^{-2}\right)-1$。
   • 这是一个线性函数，形式为 $k \cdot (t/\pi) + c$。它的作用是在区间的开始部分进行线性插值，以确保波形的平滑连接。
2. 第二段 ($0.1\pi < t \leq 2\pi$): $3e^{-t/\pi}-1$。
   • 这是一个指数衰减函数。这是波形的主体部分。它从一个较高的值开始，然后快速下降。这种形状能够模拟金融市场中常见的现象：一个事件（如大单交易）发生后，其影响会迅速达到顶峰，然后逐渐衰减。

• 周期性扩展:
• 第三段 ($t > 2\pi$): $f\left(\frac{t}{\pi}-2\left\lfloor\frac{t}{2 \pi}\right\rfloor\right)$ (原文似乎有误，应该是 $f(t - 2\pi \lfloor t/(2\pi) \rfloor)$)。
• $t' = t - 2\pi \lfloor t/(2\pi) \rfloor$ 的作用是取 $t$ 除以 $2\pi$ 的余数。例如，如果 $t=2.5\pi$，则 $\lfloor t/(2\pi) \rfloor = 1$， $t' = 2.5\pi - 2\pi = 0.5\pi$。
• 这行代码的本质是说：对于大于 $2\pi$ 的任意 $t$，其函数值等于它在 $[0, 2\pi]$ 区间内对应位置的函数值。这就将定义在 $[0, 2\pi]$ 上的波形复制并平铺到整个正实数轴，从而形成一个周期为 $2\pi$ 的函数。

• $\lfloor\cdot\rfloor$: 向下取整函数 (Floor function)。它返回不大于输入值的最大整数。例如, $\lfloor 3.14 \rfloor = 3$, $\lfloor 5 \rfloor = 5$, $\lfloor -3.14 \rfloor = -4$。

• 函数形状: 这个函数 $f(t)$ 旨在模仿一个非对称的脉冲波形，可能是一个快速上升然后缓慢指数衰减的形状，这与图1中观察到的经验模式相符。

这部分解释了合成数据实验的一些关键参数设置和其背后的动机。

• 样本数量 $T=7800$:
• 动机: 为了让合成数据实验尽可能地贴近真实应用场景。7800这个数字对应于美国股市一个交易日内三秒时间窗口的总数。
• 计算: 6.5 小时/天 × 3600 秒/小时 = 23400 秒。23400 秒 / 3 秒/窗口 = 7800 窗口。

• 噪声系数 20:
• 动机: 模拟真实金融数据中普遍存在的“低信噪比”特征。
• 信噪比 (Signal-to-Noise Ratio, SNR): 衡量信号强度与背景噪声强度的比例。这里的信号是周期项，其振幅最大为10 ($a_4$)。噪声的标准差是20。一个简单的SNR估算可以是 $(\text{信号振幅}/\text{噪声标准差})^2$。在这个例子中，即使是最强的信号，SNR也远小于1，意味着噪声的能量远大于信号的能量。
• 效果: 如此强的噪声会完全“淹没”周期性信号，使得从原始时间序列图（图A.1）上用肉眼完全看不出任何规律性。这增加了从数据中提取信号的难度，从而能更好地考验算法的性能。

• 估计时的周期分量数 $n=500$:
• 动机: 模拟“模型未知”的真实情况。
• 解释: 在生成合成数据时，我们明确知道只有10个周期分量（$j=1, ..., 10$）。但在分析真实数据时，我们不知道到底有多少个周期分量，也不知道它们的频率是多少。
• 因此，为了不在估计时“作弊”（即只去寻找那10个已知的频率），作者采用了一种更通用的方法：他们假设模型中可能包含多达 $n=500$ 个潜在的周期分量，覆盖了从低到高的各种频率。然后让算法在这500个可能的频率中去寻找哪些频率上真正有能量。
• 这证明了该方法不需要预先知道真实的频率位置或数量，具有很好的探索性。

这是对第一个实验（阴性对照组）结果的分析。

• 图 A.2a:
• 横轴: 频率。范围从0到 $\pi$。
• 纵轴: 估计的平方强度系数 $\hat{a}_j^2$。这个值代表了在对应频率上检测到的周期性信号的能量大小。
• 图上内容: 整个图上只有一些非常贴近于0的蓝色点或线。没有明显的峰值。
• 红点: 在这个图中没有红点，因为这个序列在设计时就没有任何周期项，所以没有“真实值”可供比较。

• 结果解读:
• "$\hat{a}_{j}^{2}$ 都接近于 0"：这意味着算法在所有被考察的频率上，都没有发现显著的周期性能量。
• "没有揭示任何虚假的周期性"：这说明该方法具有很好的特异性 (Specificity)，不会在没有信号的地方错误地报告有信号（即假阳性率很低）。

• 结论: 第一个实验成功。方法通过了“无中生有”的测试，证明了其可靠性。

这是对第二个实验（理想的阳性对照组）结果的分析。

• 图 A.2b:
• 横轴: 频率。
• 纵轴: 估计的平方强度系数 $\hat{a}_j^2$。
• 图上内容:
• 大部分频率上的估计值（蓝色线/点）都接近于0。
• 在10个特定的频率点上，出现了非常尖锐的蓝色峰值。
• 红点: 在这10个峰值的顶端，都有一个红点。这些红点代表了我们预先设定的、真实的平方强度系数 $a_j^2$（即 9, 4, 9, 100, 9, 4, 9, 9, 4, 9）。

• 结果解读:
• "估计在所有周期性频率上都与真实值完美匹配"：这意味着蓝色的峰值不仅出现在了正确的频率位置上（$\frac{j\pi}{10}$），而且峰值的高度（估计的强度）也与红点代表的真实强度几乎完全重合。特别是，在频率 $\frac{4\pi}{10}$ 处，有一个最高的峰值，其高度精确地达到了100。
• "其他频率的估计 ... 都接近于 0"：在两个真实频率之间的广大区域，估计的强度都非常低，没有出现虚假的峰值。

• 结论: 第二个实验非常成功。方法在理想条件下，展现出了极高的准确性 (Accuracy) 和精确性 (Precision)。它不仅能找到所有存在的信号，还能精确定量它们的强度。

这是对第三个实验（稳健性测试）结果的分析。

• 图 A.2c:
• 横轴: 频率。
• 纵轴: 估计的平方强度系数 $\hat{a}_j^2$。
• 图上内容:
• 在与图 A.2b 相同的10个频率位置上，再次出现了明显的蓝色峰值。
• 这些峰值周围，出现了一些较小的、次要的峰值，整体看起来比图 A.2b 要“杂乱”一些。
• 红点: 代表权重系数的平方（$a_j^2$）的红点依然被画在了图上，作为参考。

• 结果解读:
• "估计的 $\hat{a}_{j}^{2}$ 值与真实值不完全匹配"：可以看到，蓝色的峰值高度与红点的位置有偏差。这意味着当信号波形不是标准余弦波时，方法估计出的能量（强度）与原始权重系数的平方不完全相等。这是预料之中的，因为非余弦波的能量会散布到基频和它的谐波上。
• "仍然能够相当好地恢复这些周期项"：尽管数值不完全精确，但最关键的是，方法依然在所有10个正确的基频位置上识别出了显著的能量集中。最大的峰值仍然出现在频率 $\frac{4\pi}{10}$ 处，清晰地指出了这是最重要的周期成分。
• "与没有周期性的频率相比"：这些峰值的高度远远超过了背景噪声水平，使得它们很容易被识别出来。

• 结论: 第三个实验也成功了。它证明了该方法具有很好的稳健性 (Robustness)。即使面对与模型假设不符的信号，它依然能够抓住核心信息——能量在哪些频率上集中。

这段话是对整个方法论的普适性和泛化能力的一个总结和强调。

• "对底层时间序列的具体性质没有任何限制": 这句话可能有些夸张，因为方法确实依赖于模型（1）的假设（如加性噪声、固定频率等）。但其核心思想是，该方法的输入仅仅是一个时间序列，它不需要知道这个时间序列是代表“交易笔数”、“交易金额”、“股价收益率”还是“气温变化”。只要这个时间序列可以被合理地建模为“趋势 + 周期 + 噪声”的形式，该框架就可能适用。
• "不仅可以应用于交易笔数": 论文的主要应用是分析三秒内的交易笔数。
• "还可以应用于交易量的其他指标": 例如：
• 交易额 (Volume in dollars): 每三秒的总成交金额。
• 订单不平衡 (Order Imbalance): 买单数量与卖单数量的差值。
• 波动率 (Volatility): 如已实现方差（Realized Variance）。
• "任何可能包含重要周期性的金融时间序列": 将应用范围进一步推广到所有金融领域。例如：
• 宏观经济数据: 季度GDP、月度CPI中可能存在的季节性周期。
• 商品期货: 农产品价格可能存在的年度生长周期。
• 信贷市场: 公司债利差可能存在的与经济周期相关的模式。

这部分是对图A.3的直接解读，该图展示了真实股票（苹果公司和平安银行）交易量数据的样本自协方差函数 $\hat{\gamma}(h)$。

• 图 A.3:
• 横轴: 滞后阶数 $h$。单位是三秒。例如，$h=20$ 意味着滞后 $20 \times 3 = 60$ 秒，即1分钟。
• 纵轴: 估计的自协方差 $\hat{\gamma}(h)$。
• 图上内容: 两张图，分别对应苹果公司（AAPL）和平安银行（000001.SZSE）。每张图都是一条随 $h$ 变化的曲线。

• 对图A.3的观察与解读:

1. 强烈的周期性: 两条曲线都表现出非常明显的、类似波浪的振荡模式。这不是一条快速衰减到0的曲线，而是在一个很长的滞后范围内持续振荡。
   • 这直接证明了真实交易量数据中存在周期性。因为如果时间序列是纯随机的（白噪声），其自协方差函数在 $h>0$ 时应该在0附近随机波动。如果序列是一个简单的自回归过程（如AR(1)），其自协方差函数会呈指数衰减。这种持续的振荡是周期性信号的典型特征。
2. 与图1的对比: 作者强调，尽管在原始的时间序列图（图1）中用肉眼看不出周期性（因为信号被噪声淹没），但在自协方差函数中，周期性变得清晰可见。这是因为计算自协方差的过程本身就是一个平滑和降噪的过程，它放大了信号的相关性，而抵消了不相关的噪声的影响。
3. 苹果公司 (AAPL):
   • 其自协方差函数呈现出非常规律的振荡。第一个峰值出现在 $h=20$ 左右，第二个峰值在 $h=40$ 左右，以此类推。
   • $h=20$ 对应 $20 \times 3 = 60$ 秒，即1分钟。这表明苹果公司的交易量存在一个强烈的1分钟周期。这种周期通常与程序化交易或做市商的报价更新策略有关。
4. 平安银行 (000001.SZSE):
   • 其自协方差函数看起来更复杂，像是多种波形的叠加。
   • 在1分钟（$h=20$）处有一个峰值，但在5分钟（$h=100$）处似乎有另一个更显著的结构。这表明平安银行的交易量可能同时受到1分钟和5分钟等多种周期的共同影响。
   • “尤其是在上午的交易时段”：这个信息无法从图A.3中直接读出，这应该是作者对更细致分析（例如，只用上午数据计算自协方差）的一个结论性描述。

这部分旨在验证谱分解模型的拟合优度。思路是：

1. 我们从原始数据中估计出了样本自协方差函数 $\hat{\gamma}(h)$。
2. 我们通过对 $\hat{\gamma}(h)$ 进行离散傅里叶变换 (DFT)，估计出了模型的参数（主要是各频率的强度系数 $\hat{a}_j^2$）。
3. 现在，我们使用这些估计出的参数 $\hat{a}_j^2$，根据定理1的结论，构建一个理论自协方差函数 $\gamma_{\text{est}}(h) = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{2} \hat{a}_{j}^{2} \cos \left(\lambda_{j} h\right) + \mathbf{1}_{h=0} \hat{\sigma}^{2}$。
4. 比较我们“还原”出来的理论自协方差函数 $\gamma_{\text{est}}(h)$ 和最开始从数据中直接计算的样本自协方差函数 $\hat{\gamma}(h)$，看它们是否一致。

• 二阶矩估计: 自协方差是时间序列的二阶中心矩。因为我们的估计方法是基于自协方差的，所以它被称为一种二阶矩估计方法（与基于最大似然等其他方法相区别）。

• 图 A.4:
• 横轴: 滞后阶数 $h$。
• 纵轴: 自协方差。
• 实线 (Solid line): 从原始数据计算的样本自协方差函数 $\hat{\gamma}(h)$。这与图A.3中的曲线是相同的。
• 虚线 (Dashed line): 使用估计出的强度系数 $\hat{a}_j^2$ “重构”出来的理论自协方差函数 $\gamma_{\text{est}}(h)$。

• 结果解读:
• "我们的估计结果完美地恢复了..."：图A.4显示，实线和虚线几乎完全重合。
• 这意味着什么？ 这意味着，我们通过谱分析找到的那组周期分量（由 $\hat{a}_j^2$ 和 $\lambda_j$ 定义），它们叠加在一起产生的理论自协方差，与我们从真实数据中观察到的自协方差几乎一模一样。
• 结论: 我们的模型（一堆余弦波+噪声）非常好地解释了真实数据的二阶矩结构（即自协方差结构）。

• 关于余弦基的讨论:
• "简单的余弦谱基函数，尽管可能与真实数据中的周期模式不完全匹配"：这呼应了合成数据实验的第三个例子。真实交易量的周期模式可能不是完美的余弦波（可能是“尖浪”）。
• "但在...捕捉其自协方差结构方面仍然非常强大"：然而，图A.4的完美重合表明，即使基函数不完全匹配，用一系列余弦波来近似这个真实的周期模式，已经足以在自协方差层面上完美地复制原始数据的行为了。这是傅里叶分析强大能力的体现。

这部分介绍了小波分析的基本概念和本文使用的具体小波——Haar小波。

• 稳健性检查: 在研究中，如果我们用一种完全不同的方法，也能得到与主要方法相似的结论，那么这个结论就更加可信、更稳健。这里，小波分析就是用来验证谱分析结论的独立方法。

• 小波表示 (Wavelet Representation):
• 核心思想: 类似于傅里叶变换将信号分解为无限延伸的正弦/余弦波，小波变换将信号分解为一系列“小波”(wavelet)。
• 小波的特点: 小波是“局部化”的波。它不仅有频率特征，还有时间位置特征。一个典型的小波是在某个时间点附近振荡一下，然后迅速衰减为0。
• 分解公式: $V_{t}-\bar{V}=\sum_{f=1}^{F} \sum_{\ell=1}^{2^{f-1}} \hat{\theta}_{f, \ell} w_{f, \ell}(t)$
• 这表示，任何一个去均值的时间序列，都可以被精确地表示为一系列不同尺度、不同位置的小波的线性叠加。
• $w_{f, \ell}(t)$: 小波基函数。它本身是一个时间序列。
• $\hat{\theta}_{f, \ell}$: 小波系数。它表示第 $(f, \ell)$ 个小波基函数在原始信号中的权重或振幅。

• Haar 小波:
• 这是最简单的一种小波。它的形状就是一个方波脉冲：先是一个正的平台，紧接着一个等面积的负的平台。
• 参数 $f$ (Frequency/Scale): 尺度参数，与频率相关。$f$ 越大，小波的时间尺度越小，代表的频率越高。
• 参数 $\ell$ (Location): 位置参数。它决定了这个小波脉冲出现在整个时间序列的哪个位置。
• 公式解读:
• $t / T \cdot 2^{f-1}$: 将时间轴 $[1, T]$ 映射到 $[0, 2^{f-1}]$。
• 条件 $\ell-1 < ... \leq \ell-1/2$: 定义了方波的正半部分出现的位置。
• 条件 $\ell-1/2 < ... \leq \ell$: 定义了方波的负半部分出现的位置。
• $\sqrt{2^{f-1} / T}$: 归一化系数，确保所有小波基函数的能量（L2范数）为1。

这部分定义了核心分析工具：小波方差 (Wavelet Variance) 和 小波方差分数 (Wavelet Variance Fraction)。

1. 方差分解:
   • 起点: 序列的总方差 $\text{Var}(V)$。
   • 由于小波基函数 $w_{f,\ell}(t)$ 是一个正交基，这意味着不同的小波基函数之间是不相关的。
   • 因此，一个由正交基函数线性组合而成的信号，其总方差等于各个部分方差的和。
   • $\text{Var}(\sum \hat{\theta}_{f, \ell} w_{f, \ell}(t)) = \sum \text{Var}(\hat{\theta}_{f, \ell} w_{f, \ell}(t)) = \sum \hat{\theta}_{f, \ell}^2 \text{Var}(w_{f, \ell}(t))$。
   • 由于小波基是归一化的，其方差 $\text{Var}(w_{f,\ell}(t)) = \frac{1}{T}$（对于一个均值为0，L2范数为1的序列）。
   • 代入后得到 $\text{Var}(V) = \sum_{f=1}^F \left(\frac{1}{T} \sum_{\ell=1}^{2^{f-1}} \hat{\theta}_{f, \ell}^2 \right)$。
   • 结论: 总方差被成功地分解成了 $F$ 个部分，每个部分对应一个尺度 $f$。
2. 小波方差 (WVar):
   • $\operatorname{WVar}_{f}(V) := \sum_{\ell=1}^{2^{f-1}} \hat{\theta}_{f, \ell}^{2}$。
   • 定义: 在一个给定的尺度 $f$ 上，所有位置的小波系数的平方和。
   • 意义: 它衡量了在尺度 $f$ (对应周期约为 $T/2^{f-1}$) 上，信号的总能量或总波动强度。
   • 与上面的方差分解公式比较，可以看出 $\text{Var}(V) = \frac{1}{T} \sum_f \text{WVar}_f(V)$。
3. 小波方差分数 (WFrac):
   • $\mathrm{WFrac}_{f}(V) := \frac{\mathrm{WVar}_{f}(V)}{\sum_{f^{\prime}=1}^{F} \mathrm{WVar}_{f^{\prime}}(V)}$。
   • 定义: 尺度 $f$ 上的小波方差，占所有尺度小波方差总和的比例。
   • 意义: 它衡量了在尺度 $f$ 上的波动，对总波动的贡献有多大。这是一个标准化的、介于0和1之间的指标，便于比较不同尺度的重要性。如果 $\text{WFrac}_{13}(V) = 0.4$，意味着在尺度13上的波动贡献了总波动的40%。

这部分描述了小波分析的具体实施和结果。

• 数据处理:
• 数据: 每只股票、每个月的分钟交易量数据。
• 时间序列长度 $T$: 在美国市场，一个月的交易日大约21天，每天交易390分钟，所以 $T \approx 21 \times 390 = 8190$。

• 尺度与频率的对应关系:
• 小波分析中的尺度 $f$ 对应的时间范围大约是 $T/2^{f-1}$ 到 $T/2^f$。对于Haar小波，其基本周期可以认为是 $2(T/2^f) = T/2^{f-1}$。
• 作者关心的是1分钟周期。
• 在总长度为 8190 分钟的序列中，1分钟周期对应什么尺度？
• 我们需要找到 $f$ 使得 $T/2^{f-1} \approx 1$。
• $8190 / 2^{f-1} \approx 1 \implies 2^{f-1} \approx 8190$。
• 我们知道 $2^{13} = 8192$。
• 所以 $f-1 = 13 \implies f=14$。（原文说$f=13$，这里的对应关系可能因定义而略有差异，但关键在于找到了与1分钟周期最接近的那个离散尺度）。让我们遵循原文的 $f=13$。
• 关键: 尺度 $f=13$ 捕捉的是与1分钟周期相关的波动。

• 图 A.5:
• 类型: 箱形图 (Box Plot)。它能展示一组数据的分布特征（中位数、四分位数、异常值）。
• 横轴: 小波尺度 $f$。
• 纵轴: 小波方差分数 (WFrac)。
• 图上内容: 对每个尺度 $f$，都有一个箱子，这个箱子总结了所有股票、所有月份在该尺度下 WFrac 的分布情况。
• 核心观察: 在尺度 $f=13$ 处，箱体的位置显著高于其他所有尺度。
• 数值解读: $f=13$ 对应的箱体中位数在 40% 左右。这意味着，对于一个典型的股票、典型的一个月，由1分钟周期附近波动所贡献的方差，占到了总方差的40%之多！这是一个非常惊人的比例。

• 结论:
• "为...高频周期性提供了另一份证据"：独立的小波分析方法，同样指向了“1分钟周期是交易量波动的最主要来源”这个结论。这极大地增强了原结论的可信度。
• "支持 fVR 作为...可信代理指标"：因为小波分析和小波方差分数是公认的度量周期性强度的方法，而我们自己提出的 fVR 指标（基于谱分析）得出了与它一致的结论，这反过来也证明了 fVR 指标的有效性和合理性。

这段话对本文使用的两种方法——谱分析和小波分析——进行了优劣对比，并明确了它们在本文中的定位。

• 共同点:
• 两者都旨在进行方差分解，即分析不同频率/尺度的波动对总方差的贡献。fVR 是谱分析框架下的方差贡献度指标，WFrac 是小波分析框架下的方差贡献度指标。

• 不同点 (小波分析的劣势):
• 频率分辨率受限: 标准的离散小波变换（特别是基于Haar小波的）其尺度是按2的幂次组织的（$2^1, 2^2, 2^3, ...$）。这意味着它能很好地分析周期为2、4、8、16...分钟的信号，但对于周期为3、5、7、10分钟这样的非2的幂次周期，它无法精确地对应一个独立的尺度，其能量会被分散到相邻的几个尺度上。
• 不适合联合分析整数频率: 正因为上述原因，如果你想同时精确比较1分钟、5分钟和10分钟周期的强度，小波分析不是一个理想的工具。

• 不同点 (谱分析的优势):
• 频率分辨率灵活: 在谱分析框架下，我们可以自由地选择我们感兴趣的频率点 $\lambda_j$ 进行分析。我们可以将 $\lambda_j$ 设置为精确对应1分钟、2分钟、...、10分钟...的频率，然后在同一个模型里直接比较它们的强度系数 $a_j^2$。
• 适合识别主导频率: 谱分析可以直接输出一个高分辨率的“频谱”，让你清晰地看到在哪些精确的频率点上能量最集中。

• 方法定位:
• 小波分析: 在本文中，它的作用是辅助性的和验证性的。它被用来回答一个比较宏观的问题：“交易量波动主要是由高频还是低频驱动的？” 它的结论（高频驱动）为谱分析的更精细的发现提供了佐证。
• 谱分析: 这是本文的主要分析工具。它被用来回答更精细的问题：“在高频部分，具体是哪些频率（如1分钟、5分钟）的周期性最强？”

• 数值不可比性:
• 由于两种方法基于完全不同的数学框架（无限延伸的全局正弦波 vs. 局部化的分段小波），并且频率的划分方式也不同，因此 fVR 和 WFrac 虽然概念上相似，但其具体的数值（例如，谱分析发现1分钟周期贡献了30%的方差，而小波分析发现贡献了40%）是不能直接进行比较的。我们只能进行定性上的比较（例如，两种方法都认为1分钟周期最重要）。